Question

【题目】如图①，先把一矩形ABCD纸片上下对折，设折痕为MN；如图②，再把点B叠在折痕线MN上，得到Rt△ABE．过B点作PQ⊥MN，分别交EC、AD于点P、Q．

（1）求证：△PBE∽△QAB；

（2）在图②中，如果沿直线EB再次折叠纸片，点A能否叠在直线EC上？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若AB=3，求AE的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）沿直线EB再次折叠纸片，点A能叠在直线EC上；（3）2

【解析】

试题分析：（1）由题意可以得到∠BPE=∠AQB=90°，通过角的转化可以得到∠BEP=∠ABQ，从而可以得到△PBE∽△QAB；

（2）根据折叠的知识可以得到QB=PB，由第（1）问中的相似可以得到对应边成比例，通过转化可以得到△PBE∽△BAE，从而可以解答本题；

（3）由题意和第（2）问可以得到∠AEB=∠BEP=60°，∠ABE=90°，又因为AB=3，sin∠AEB=，从而可以得到AE的长度．

（1）证明：∵PQ⊥MN，BN∥EC∥AD，

∴∠BPE=∠AQB=∠PBN=∠NBQ=90°，

∴∠PBE+∠BEP=90°，

又∵∠PBE+∠ABQ=180°﹣∠ABE=180°﹣90°=90°，

∴∠BEP=∠ABQ，

在△PBE∽△QAB中

∴△PBE∽△QAB；

（2）点A能叠在直线EC上，

理由：∵△PBE∽△QAB，

∴，

∵由折叠可知，QB=PB，

∴，即，

又∵∠ABE=∠BPE=90°，

∴△PBE∽△BAE，

∴∠AEB=∠PEB，

∴沿直线EB再次折叠纸片，点A能叠在直线EC上；

（3）解：由（2）可知，∠AEB=∠PEB，

而由折叠过程知：2∠AEB+∠PEB=180°，

∴∠AEB=∠PEB=60°，

在Rt△ABE中，sin∠AEB=，

∴AE=．