Question

【题目】设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．

（1）阅读填空

如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．

理由：连接AH，EH．

∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．

∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°

∴∠HAD+∠AHD=90°

∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．

∴，即DH2=AD×DE．

又∵DE=DC

∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．

（2）操作实践

平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．

如图②，请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．

（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．

如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．

（4）拓展探究

n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．

如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．

Answer 1

【答案】（1）△HDE，AD×DC；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）根据相似三角形的判定方法，得到△ADH∽△HDE；根据等量代换，可得DH2=AD×DC．

（2）先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后再作正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．

（3）先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．

（4）先根据由AG∥EH，得到AG=2EH，再由CF=2DF，得到CFEH=DFAG，由此得出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．

试题解析：（1）如图①，连接AH，EH，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE，∴，即DH2=AD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积，

故答案为：△HDE，AD×DC；

（2）如图②，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽△HDE，∴，即DH2=AD×DE，又∵DE=DM，∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH与矩形ABMN等积，∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积；

（3）如图③，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，∵矩形MDBC的长等于△ABC的底，矩形MDBC的宽等于△ABC的高的一半，∴矩形MDBC的面积等于△ABC的面积，∵ME为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH⊥ME，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED，∴△MDH∽△HDE，∴，即DH2=MD×DE，又∵DE=DC，∴DH2=MD×DC，∴DH即为与△ABC等积的正方形的一条边；

（4）如图④，延长BA、CD交于点F，作AG⊥CF于点G，EH⊥CF于点H，△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：∵AG∥EH，∴，∴AG=2EH，又∵CF=2DF，∴CFEH=DFAG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．