Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a；②若-1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为-1和.其中正确结论的个数是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2-2ax-3a，配成顶点式得y=a（x-1）2-4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y=a51=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=-2a，c=-3a，则方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．

抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），

即y=ax2-2ax-3a，

∵y=a（x-1）2-4a，

∴当x=1时，二次函数有最小值-4a，所以①正确；

当x=4时，y=a51=5a，

∴当-1≤x2≤4，则-4a≤y2≤5a，所以②错误；

∵点C（4，5a）关于直线x=1的对称点为（-2，5a），

∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜-2，所以③错误；

∵b=-2a，c=-3a，

∴方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0，

整理得3x2+2x-1=0，解得x1=-1，x2=，所以④正确．

故选B．