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13.如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B,C分别在AD,AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长DB交AF,CF于点N,H.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=2,AD=3$\sqrt{2}$时,求线段AN的长.

分析 (1)根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD,证明结论;
(2)①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可;
②作BM⊥AD于M,在Rt△AMB中,由∠BAM=45°,AB=2,推出AM=BM=$\sqrt{2}$,DM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$,由BM∥AN,推出$\frac{BM}{AN}$=$\frac{DM}{DA}$即可解决问题;

解答 解:(1)BD=CF.
理由如下:如图2中,由题意得,∠CAF=∠BAD=θ,

在△CAF和△BAD中,
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAF=∠BAD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$,
∴△CAF≌△BAD,
∴BD=CF;

(2)①由(1)得△CAF≌△BAD,
∴∠CFA=∠BDA,
∵∠FNH=∠DNA,∠DNA+∠NDA=90°,
∴∠CFA+∠FNH=90°,
∴∠FHN=90°,即BD⊥CF;

②如图3中,作BM⊥AD于M,

在Rt△AMB中,∵∠BAM=45°,AB=2,
∴AM=BM=$\sqrt{2}$,DM=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$,
BM∥AN,
∴$\frac{BM}{AN}$=$\frac{DM}{DA}$,
∴$\frac{\sqrt{2}}{AN}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$,
∴AN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质,掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助线是解题的关键.

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