Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线在第一象限上的一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，交线段BC于点Q．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）当PQ=2QH时，求点P的坐标；

（3）当PH最大时，连接AP，AP与BC交于点D，点F是第一象限内一点，且∠AFC=45°，点G在抛物线上，直线FG、FC分别与直线PH交于点M、N．当三角形ABD相似三角形FMN时，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或或．

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先根据二次函数的解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据建立等式求解即可；

（3）在（2）的基础上，先利用二次函数的性质求出点P的坐标，在利用二次函数的性质、正切函数值得出，然后根据相似三角形的性质分三种情况：①当时、②当时、③当时，先分别利用相似三角形的性质确认点F在直线PA上，再利用相似三角形的性质得出点N的坐标，从而可得直线CN的解析式，然后联立直线PA、CN的解析式可求出点F的坐标，进而利用待定系数法可求出直线FG的解析式，最后联立二次函数与直线FG的解析式即可得．

（1）将代入得

解得

故抛物线对应的函数表达式为；

（2）对于

当时，，解得或

则点B的坐标为

设直线BC的解析式为

将代入得，解得

则直线BC的解析式为

设，则，，且

因此有，

由得：

解得或（不符题意，舍去）

此时，

故点P的坐标为；

（3）由（2）可知，

由二次函数的性质得：当时，PH取得最大值，最大值为4

则，

设直线PA的解析式为

将，代入得，解得

则直线PA的解析式为

联立，解得

是等腰直角三角形，

，

由两点之间的距离公式得：

由二次函数的对称性可知，

，

在中，

在中，

，即

根据相似三角形的性质，分以下三种情况：

①当时

则点F不可能位于第一象限，不符题意

②如图1，当时

设AF与BC的交点为点Q

点F是第一象限内一点，且

点F在外接圆位于第一象限的弧上

由圆周角定理得：

又

则当三角形ABD相似三角形FMN时，与也相似或完全重合

与找不出两组对应相等的角

即与不可能相似，只能是完全重合

点Q与点D重合

则点F在直线PA：上，

，即

解得

，即

设直线CN的解析式为

将，代入得：，解得

则直线CN的解析式为

联立，解得

则

又

，即

则可设直线FG的解析式为

点代入得，解得

则直线FG的解析式为

联立，解得

当时，

当时，

则此时点G的坐标为或

③如图2，当时

同②可得：点F在直线PA：上，，

又

可设直线FG的解析式为

将点代入得：，解得

则直线FG的解析式为

联立，解得

当时，

当时，

则此时点G的坐标为或

综上，点G的坐标为或或或．