Question

【题目】如图，线段是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若的半径为5，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）sin∠BAE=.

【解析】

（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；

（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；

（3）连接BE，得Rt△ABE，由得BE=CE=6，进而可求出的值

（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，如图1所示：

∵OF⊥BC，

∴，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴，

∴CE2=EHEA；

（3）连接BE，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半径为5，

∴AB=10，

∵，

∴BE=CE=6，

∴sin∠BAE=.