Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象交于A，B两点，若点P在y轴上，且满足以点A，B，P为顶点的三角形是直角三角形，则点P的坐标是（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，-2）．

Answer 1

分析 先利用一次函数解析式确定A点坐标，再利用反比例函数的性质得到B点坐标，设P（0，t），根据两点间的距离公式得AB²=（-1-1）²+（1+1）²=8，PA²=1+（t-1）²，PB²=1+（t+1）²，然后分类讨论：
当∠APB=90°时，PA²+PB²=AB²，即1+（t-1）²+1+（t+1）²=8，当∠PAB=90°时，PA²+AB²=PB²，即1+（t-1）²+8=1+（t+1）²，当∠PBA=90°时，PB²+AB²=PA²，即1+（t+1）²+8=1+（t-1）²，再分别解关于t的方程即可．

解答 解：当x=-1时，y=-x=1，则A（-1，1），
∵一次函数y=-x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴B（1，-1），
设P（0，t），则AB²=（-1-1）²+（1+1）²=8，PA²=1+（t-1）²，PB²=1+（t+1）²，
当∠APB=90°时，PA²+PB²=AB²，即1+（t-1）²+1+（t+1）²=8，解得t=±$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）；
当∠PAB=90°时，PA²+AB²=PB²，即1+（t-1）²+8=1+（t+1）²，解得t=2，此时P点坐标为（0，2）；
当∠PBA=90°时，PB²+AB²=PA²，即1+（t+1）²+8=1+（t-1）²，解得t=-2，此时P点坐标为（0，-2），
综上所述，P点坐标为（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，-2）．
故答案为（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，-2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了勾股定理和两点间的距离公式．