Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=﹣x沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；

（3）连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；

（2）点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；

（3）∠OCA与∠OCD两角和的度数为45°．

【解析】

试题分析：（1）根据平移的规律，可得BC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式；

（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据等腰三角形的性质，可得BC的长，根据相似三角形的判定与性质，可得PF的长，根据线段的和差，可得F点坐标；

（3）根据轴对称，可得A′点，根据勾股定理，可得A′C，A′D，根据勾股定理的逆定理，可得∠CA′D=90°，根据等量代换，可得答案．

试题解析：（1）直线y=﹣x沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，得

y=﹣x+3，即C（0，3），（3，0）．

抛物线y=x2+bx+c过点B，C，，解得．

故抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）由y=x2﹣4x+3，当y=0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，x=3，即A（1，0），B（3，0）．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，D（2，﹣1）．∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形．∴∠OBC=45°，CB=3．

如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，

AF=AB=1．过点A作AE⊥BC于点E．∴∠AEB=90°．可得BE=AE=，CE=2．

在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP．

∴=， =．解得PF=2．点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．

（3）如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点A′，则A′（﹣1，0）．

连结A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OCA′=∠OCA．

由勾股定理可得CD2=20，A′D2=10．又∵A′C2=10，∴A′D2+A′C2=CD2．

∴△A′DC是等腰直角三角形，∠CA′D=90°，∴∠DCA′=45°．

∴∠OCA′+∠OCD=45°．∴∠OCA+∠OCD=45°．

即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45°．