Question

15．已知，在△ABC中，AB=AC，在射线CA上截线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC于点M．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
小茗同学认为MD=ME，并写下以下证明过程，请你将证明过程补充完整，并在括号内填充理由．
理由：如图，作EN∥BD，交BC于N．
因为EN∥BD
所以∠ABC=∠ENC（两直线平行，同位角相等）
又因为∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底相等）
所以∠ACB=∠ENC（等量代换）
所以△ENC是等腰三角形，EN=EC
又因为BD=CE（已知）
所以EN=BD（等量代换）
因为EN∥BD
所以∠BDE=∠DEN
在△DBM与△ENM中
∠BDE=∠DEM（已证）
∠BMD=∠EMN（对顶角相等）
EN=BD（已证）
所以△DBM≌△ENM（AAS）
所以MD=ME（全等三角形的对应边相等）
（2）如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）DM=EM；过点E作EN∥AB交BC于点N，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△ENM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

解答 解：（1）MD=ME
理由：如图①，

作EN∥BD，交BC于N．
因为EN∥BD，
所以∠ABC=∠ENC（ 两直线平行，同位角相等），
又因为∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底相等），
所以∠ACB=∠ENC（等量代换），
所以△ENC是等腰三角形，EN=EC，
又因为BD=CE（已知），
所以EN=BD（ 等量代换），
因为EN∥BD，
所以∠BDE=∠DEN，
在△DBM与△ENM中
∠BDE=∠DEM（已证），
∠BMD=∠EMN（ 对顶角相等），
EN=BD（ 已证），
所以△DBM≌△ENM（ AAS），
所以MD=ME（ 全等三角形的对应边相等），
故答案为：两直线平行，同位角相等，∠ACB，∠ENC，等量代换，对顶角相等，已证，AAS，全等三角形的对应边相等；
（2）成立；
证明：如图②，

过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF∥AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠FEM}\\{∠BMD=∠FME}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；

点评 此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高，平时加强训练．