[回归课本]我们曾学习过这样的基本事实:①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,②同弧所对的圆周角相等．[初步体验]如图.已知△ABC.用没有刻度的直尺和圆规作图.不要求写作法.但要保留作图痕迹.并对作图中涉及到的点用字母进行标注．(1)在图①中AC边上找点D.使DB+DC=AC,(2)在图②中作△BCE.使∠BCE=∠BAC.CE=BE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②同弧所对的圆周角相等．
【初步体验】如图，已知△ABC，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．
（1）在图①中AC边上找点D，使DB+DC=AC；
（2）在图②中作△BCE，使∠BCE=∠BAC，CE=BE．
【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：
（3）如图③，已知线段a和等边△ABC，作△BCM，使∠BMC=∠BAC，BM+CM=a．
他的做法是：
1画△ABC的外接圆；
2以A为圆心、AB长为半径画⊙A；
3以C为圆心、a为半径画弧与⊙A交于点F；
4连接CF与△ABC的外接圆交于点M，则△BCM是要画的三角形．
请你给出证明，并直接写出这样的点M有个．
（4）请你仿照小明的做法解决下面的问题：
如图④，已知线段b和△ABC，作△BCN，使∠BNC=∠BAC，BN-CN=b．

分析（1）作线段AB的垂直平分线即可；
（2）作△ABC的外接圆，线段BC的垂直平分线交△ABC的外接圆于E，连接EC、EB即可；
（3）只要证明△M₁BF是等腰三角形即可，这样的点有8个．
（4）①画△ABC的外接圆；②作∠ABC，∠ACB的外角平分线交于点G，画△GBC的外接圆；③以B为圆心，b为半径画弧交△GBC的外接圆于点H；④连接BH并且延长与△ABC的外接圆交于点N．则△BCN即为所求．

解答解：（1）如图①中，

点D如图所示．
（2）如图②中，

图中△BCE即为所求．

（3）如图③中

证明：连接BF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BM₁C=∠BAC=60°，∠CFB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵∠BM₁C=∠M₁BF+∠CFB，
∴∠CFB=∠M₁BF=30°，
∴FM₁=M₁B，
∴CF=CM₁+BM₁=a．
这样的点M能找到8个．（图中M₁、M₂、M₃、M₄，以及它们关于BC的对称点）

（4）如图④中，

步骤：①画△ABC的外接圆；
②作∠ABC，∠ACB的外角平分线交于点G，画△GBC的外接圆；
③以B为圆心，b为半径画弧交△GBC的外接圆于点H；
④连接BH并且延长与△ABC的外接圆交于点N．
则△BCN即为所求．

点评本题考查圆的综合题、复杂作图、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理、等边三角形的性质、角平分线定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

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