Question

1．已知BC是⊙O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，连接FC．
（1）如图1，若OE=2，求CF；
（2）如图2，连接DE，并延长交FC的延长线于G，连接AG，请你判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AAS证明△AEO≌△BDO，得出OE=OD=2，证出OD∥CF，得出OD为△BFC的中位线，得出CF=2OD=4即可；
（2）由ASA证明△ABD≌△GDF，得出AD=GF，证出AD∥GF，得出四边形ADFG为矩形，由矩形的性质得出AG⊥OA，即可得出结论．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的直径，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，
∴∠AEO=∠BDO=90°，OA=OB，
在△AEO和△BDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BDO}\\{∠AOE=∠BOD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OE=OD=2，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CFB=90°，即CF⊥BF，
∴OD∥CF，
∵O为BC的中点，
∴OD为△BFC的中位线，
∴CF=2OD=4；
（2）直线AG与⊙O相切，理由如下：
连接AB，如图所示：
∵OA=OB，OE=OD，
∴△OAB与△ODE为等腰三角形，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠ADG=∠OED=∠BAD=∠ABO，
∵∠GDF+∠ADG=90°=∠BAD+∠ABD，
∴∠GDF=∠ABD，
∵OD为△BFC的中位线，
∴BD=DF，
在△ABD和△GDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠GDF}\\{BD=DF}\\{∠ADB=∠GFD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△GDF（ASA），
∴AD=GF，
∵AD⊥BF，GF⊥BF，
∴AD∥GF，
∴四边形ADFG为矩形，
∴AG⊥OA，
∴直线AG与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．