Question

3．定义：若两条抛物线的对称轴相同则称这两条抛物线为同轴抛物线．
（1）下列关于抛物线的两个命题：
①若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，则抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁与抛物线y=a₂x²+b₂x+c₂为同轴抛物线．
②若抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁与抛物线y=a₂x²+b₂x+c₂为同轴抛物线，则$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，
判断上述命题是否是真命题？若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举一个反例；
（2）如图，抛物线l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9与抛物线l₂：y=ax²+bx是同轴抛物线，顶点分别为P，Q，过点Q作直线AB∥x轴，交抛物线l₁于A，B两点，且∠APB=90°，求l₂的表达式；
（3）对于抛物线l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9上任意一点M（m，n），都有点N（2m，2m+n）在抛物线l₃上，试说明抛物线l₃与抛物线l₁是同轴抛物线．

Answer 1

分析 （1）根据同轴抛物线的定义即可证明；
（2）先确定出抛物线l₂的对称轴即可得出b=-8a，在利用直角三角形的性质即可确定出结论；
（3）在抛物线l₁上取三个点，得出三个点的坐标，进而确定出抛物线l₃的解析式即可证明结论．

解答 解：（1）①真命题，
理由：∵抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁，
∴此抛物线的对称轴为x=-$\frac{{b}_{1}}{2{a}_{1}}$
∵抛物线y=a₂x²+b₂x+c₂，
∴此抛物线的对称轴为x=-$\frac{{b}_{2}}{2{a}_{2}}$，
∵$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，
∴-$\frac{{b}_{1}}{2{a}_{1}}$=-$\frac{{b}_{2}}{2{a}_{2}}$，
∴抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁与抛物线y=a₂x²+b₂x+c₂为同轴抛物线．

②假命题，
理由：①当两个抛物线的对称轴是y轴时，b₁=b₂=0，式子$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$没意义；
②当两个抛物线的对称轴不是y轴时，b₁=b₂≠0，
抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁，
∴此抛物线的对称轴为x=-$\frac{{b}_{1}}{2{a}_{1}}$
∵抛物线y=a₂x²+b₂x+c₂，
∴此抛物线的对称轴为x=-$\frac{{b}_{2}}{2{a}_{2}}$，
∵抛物线y=a₁x²+b₁x+c₁与抛物线y=a₂x²+b₂x+c₂为同轴抛物线．
∴-$\frac{{b}_{1}}{2{a}_{1}}$=-$\frac{{b}_{2}}{2{a}_{2}}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$；

（2）∵抛物线l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9，
∴抛物线l₁的对称轴为x=4，顶点P坐标为（4，1），
∵抛物线l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9与抛物线l₂：y=ax²+bx是同轴抛物线，
∴抛物线l₂：y=ax²+bx的对称轴为x=4，
∴-$\frac{b}{2a}$=4，
∴b=-8a，抛物线l₂的顶点Q（4，-16a）
∵AB∥x轴，∠APB=90°，
∴PQ⊥AB，AQ=BQ=PQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PQ=|-16a-1|=-16a-1=$\frac{1}{2}$AB，
当y=-16a时，有-16a=$\frac{1}{2}$x²-4x+9，
∴x²-8x+18+32a=0，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{64-4×（18+32a）}$=2（-16a-1），
∴a=-$\frac{1}{16}$（舍）或a=-$\frac{3}{16}$，
∴b=$\frac{3}{2}$，
∴l₂的表达式为y=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{3}{2}$x；

（3）∵抛物线l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9上任意一点M（m，n），
∴当m=0时，n=9，
∴2m=0，2m+n=9，
∴N₁（0，9），
当m=2时，n=3，
∴2m=4，2m+n=7，
∴N₂（4，7），
当m=4时，n=1，
∴2m=8，2m+n=9，
∴N₃（8，9），
∵N₁，N₂，N₃在抛物线l₃上，
设抛物线l₃的解析式为y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=9}\\{16a+4b+c=7}\\{64a+8b+c=9}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{8}}\\{b=-1}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴抛物线l₃的解析式为y=$\frac{1}{8}$x²-x+9，
∴抛物线l3的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=4，
∵抛物线l₁：y=$\frac{1}{2}$x²-4x+9的对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=4，
∴抛物线l₃与抛物线l₁是同轴抛物线．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，同轴抛物线的定义的理解和应用，解（1）的关键是理解同轴抛物线的定义，解（2）的关键是用方程的思想解决问题，解（3）的关键是确定出抛物线l₃的解析式，是一道中等难度的题目．