Question

【题目】如图4，四边形ACDE、BAFG是以△ABC的边AC、AB为边向△ABC外所作的正方形.

求证：（1）EB=FC.（2）EB⊥FC.

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“边角边”证明△ABE和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得EB=CF；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACF，连接CE，设EB、CF相交于O，然后求出∠OEC+∠OCE=90°，再求出∠COE=90°，然后根据垂直的定义即可得证．

试题解析：（1）∵四边形ACDE、BAFG都是正方形，

∴AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，

∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△AFC中， ，∴△ABE≌△AFC（SAS），

∴EB=FC；

（2）∵△ABE≌△AFC，

∴∠AEB=∠ACF，

连接CE，设EB、CF相交于O，

则∠OEC+∠OCE=∠OEC+∠ACE+∠BEA=∠ACE+∠AEC=90°，

在△OCE中，∠COE=180°-（∠OEC+∠OCE）=180°-90°=90°，

∴EB⊥FC．