分析:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4,用坐标表示线段的长度则:MC=|-x+4|,MD=|x|,分成M在AB的延长线上,在线段AB上,在线段BA的延长线上,则x的范围即可确定,根据矩形的面积公式即可写出函数解析式;
(2)先用x表示出MC和MD的长,即可得到函数关系式;
(3)正方形OCMD的周长被分为1:3时,当A在直线AB的左侧时,如图(2),右侧是等腰直角三角形,等腰直角三角形的两直角边的和是矩形周长的
,据此即可求得;同理当A在直线AB的右侧时,如图(3),直线AB的左侧的部分是等腰直角三角形,等腰直角三角形的两直角边的和是矩形周长的
.
解答:解:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+4,
则:MC=|-x+4|,MD=|x|,
当M在AB的延长线上时,即x<0时,则MC=|-x+4|=-x+4,MD=|x|=-x,
因而C
四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4-x)=8-4x,此时四边形OCMD的周长是发生变化的;
当M在线段AB上时,即0<x<4,则MC=|-x+4|=-x+4,MD=|x|=x,
C
四边形OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8,此时四边形OCMD的周长不发生变化;
当M在BA的延长线上,即x>4时,MC=|-x+4|=4-x,MD=|x|=x,
C
四边形OCMD=2(MC+MD)=2(4-x+x)=8,此时四边形OCMD的周长不发生变化;
总之,当点M在线段AB上或BA的延长线上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8.
当M在线段AB的延长线上时,四边形OCMD的周长发生变化;
(2)当M在AB的延长线上时,即x<0时,S=MC•MD=(-x+4)•(-x)=x
2-4x;
当M在线段AB上时,0<x<4时,S=MC•MD=(-x+4)•x=-x
2+4x;
当M在BA的延长线上,即x>4时,S=MC•MD=(4-x)•x=4x-x
2;
当四边形OCMD为正方形时,P在线段AB上,此时-x+4=x,解得:x=2,
把x=2代入函数解析式S=MC•MD=(-x+4)•x=-x
2+4x,得:S
四边形OCMD=4,即四边形OCMD为正方形时的面积是4;
(3)当A在直线AB的左侧时,如图(2),右侧是等腰直角三角形,则正方形OCMD的周长被分为1:3时,2a=
×8,
解得:a=1.
当A在直线AB的右侧时,如图(3),直线AB的左侧的部分是等腰直角三角形,2(2+a-4)=
×8,
解得:a=3.
总之,a=1或3.