Question

【题目】图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1 ， h2 ， △OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得四边形ABCD是菱形．

∵EF∥BD，

∴△ABD∽△AEF，

∴ ，即

∴

所以当 时，

（2）解：根据题意，得OE=OM．

如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，

① 当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM．

∵ ，

∴ ，

∴

由ML∥EK∥OB，

得 ∴ ，

即

∴ ，此时h1的取值范围为 且 ，

②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5．

【解析】（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值．（2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得 即可知h1的取值范围；②当点E，M重合时，则h1=h2 ， 此时可知h1的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对轴对称的性质的理解，了解关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．