Question

12．如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB为直径，过C作⊙O的切线交AB的延长于E，DB⊥CE，垂足为F．
（1）若∠ABC=65°，则∠CAD=65°；
（2）若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$cm，弦BD的长为3cm；
①求CE的长；
②连结CD，求cos∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）分别求出∠BAC，∠BAD即可解决问题．
（2））①连接CD、CO，延长CO交AD于M，由∠CAD=∠ABC，得$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，推出CM⊥AD．AM=MD，OM=$\frac{1}{2}$BD，再证明四边形CFDM是矩形，由BF∥OC，得$\frac{BF}{OC}$=$\frac{EF}{EC}$即可解决问题．
②在RT△CMD根据cos∠ADC=$\frac{DM}{CM}$即可解决问题．

解答 解：（1）连接OC，
∵AB是直径，∠ABC=65°
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=25°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=65°，
∴∠BOC=180°-65°-65°=50°，
∵EC是⊙O切线，
∴OC⊥EC，∵DF⊥EC，
∴OC∥DF，
∴∠COB=∠OBD=50°，
∴∠DAB=90°-∠ABD=40°，
∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=65°．
故答案为65°．
（2）①连接CD、CO，延长CO交AD于M．
∵OC∥DF，
∴∠OCB=∠CBF=∠OBC，
∵∠CAD=∠CBF，
∴∠CAD=∠ABC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴CM⊥AD，AM=DM，
∵OM∥BD，AO=BO，AM=MD，
∴OM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，
∵AO=OB=$\frac{5}{2}$，
∴CM=4，∵∠CMD=∠MCF=∠CFD=90°，
∴四边形CFDM是矩形，
∴CF=DM，CM=DF=4，BF=1，
在RT△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5，DB=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴CF=DM=2，
∴BF∥CO，
∴$\frac{BF}{CO}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴$\frac{1}{\frac{5}{2}}$=$\frac{EC-2}{EC}$，
∴EC=$\frac{10}{3}$．
②由①可知：在RT△CMD中，∵∠CMD=90°，MD=2，CM=4，
∴CD=$\sqrt{C{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠ADC=$\frac{DM}{CD}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查圆、切线的性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，学会灵活运用这些知识解决问题，发现CM垂直平分AD是解题的关键，属于中考常考题型．