Question

将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图2中，若AP₁=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AP₁的交点．当旋转角为多少度时，有△AP₁C∽△CP₁P₂？这时线段CP₁与P₁P₂之间存在一个怎样的数量关系？．

Answer 1

分析：（1）根据△A₁B₁C和△ABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条件证明△B₁CQ≌△BCP₁，然后可求证：CP₁=CQ；
（2）作P₁D⊥AC于D，根据∠A=30，∠P₁CD=45°分别求出P₁D=

1

2

AP₁，CP₁=

2

P₁D=

2

2

AP₁，而AP₁=a可求CQ．
（3）当△A P₁C∽△CP₁P₂时，∠P₁CP₂=∠P₁AC=30°，再根据相似求出CP₁与P₁P₂之间存在的数量关系．

解答：（1）证明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°；
又B₁C=BC，∠B₁=∠B，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）
∴CQ=CP₁；

（2）解：如图：作P₁D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P₁D=

1

2

AP₁；
∵∠P₁CD=45°，
∴

P1D

CP1

=sin45°=

2

2

，
∴CP₁=

2

P₁D=

2

2

AP₁；
又AP₁=a，CQ=CP₁，
∴CQ=

2

2

a；

（3）解：当∠P₁CP₂=∠P₁AC=30°时，由于∠CP₁P₂=∠AP₁C，则△AP₁C∽△CP₁P₂，
所以将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转30°到△A₂B₂C时，有△AP₁C∽△CP₁P₂．
这时

P1 P2

CP1

=

CP1

AP1

=

2

2

，
∴P₁P₂=

2

2

CP₁．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质及旋转的运用．