Question

已知，如图：正方形ABCD，AC是对角线，点P是AC上一点，连接PB，以PB为腰作等腰直角三角形△PBE，PE与直线AB相交于点F，连接PD，设AP=nPC．
（1）如图1直接写出：

PD

PE

=

 

（2）如图1当n=2时，求

PF

PE

的值．
（3）如图2：当点P在AC延长线上，其它条件均不变，当n=

 

时，PE=5EF．

Answer 1

分析：（1）通过求证△DPC≌△BPC，即可推出PD=BP，然后，通过直角三角形中45°角的函数值，即可推出结论；
（2）由正方形和等腰直角三角形的性质，推出△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，可得AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，然后根据比例式的性质，即可推出PF：PE=AP：AC，再由AP=2PC，求得AP：AC=2：3，即可推出结果；
（3）结合图形，根据（2）解题思路，由正方形和等腰直角三角形的性质，推出△EBP∽△ABC，△PBC∽△FPA，得出对应边成比例，EP：AC=BP：BC，AP：BC=PF：BP，然后，根据比例式的性质，即可得PE：PF=AC：AP，由PE=5EF，即可推出AC：AP=5：6，求得n的值．

解答：解：（1）

2

2

；

（2）∵正方形ABCD，AC为其对角线，
∴FAP=∠BCP=45°，
∵等腰Rt△EBP，
∴∠E=∠BPF=∠PAF，
∵∠EFB=∠AFP，
∴∠EBF=∠PBC，
∵∠EBP=∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠PBC，
∴△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，
∴AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，
∴BP：BC=PF：AP，
∴EP：AC=PF：AP，即PF：PE=AP：AC，
∵n=2，
∴AP=2PC，
∴AP：AC=2：3，
∴PF：PE=AP：AC=2：3；

（3）∵正方形ABCD，AC为其对角线，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵等腰直角三角形EBP，
∴∠BEP=∠BPE=45°，
∴△EBP∽△ABC，
∴EP：AC=BP：BC，
∴∠FBE=∠FPA，
∵∠ABC=∠EBP=90°，
∴∠FBE=∠PBC，
∴∠PBC=∠FPA，
∴△PBC∽△FPA，
∴AP：BC=PF：BP，
∴BP：BC=PF：AP，
∵BP：BC=PE：AC，
∴PF：AP=PE：AC，即PE：PF=AC：AP，
∵PE=5EF，
∴PE：PF=5：6，
∴AC：AP=5：6，
∴AP：PC=6：1，
∵AP=nPC，
∴n=6，
∴当n=6时，PE=5EF．
故答案为

2

2

，6．

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质、内角和定理、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、比例式的性质等知识点，关键在于推出相关三角形相似，推出对应边成比例，正确地根据比例式的性质对比例式进行变形．