Question

若m为自然数，且4<m<40，且方程x²－2(2m－3)x＋4m²－14m＋8＝0的两根均为整数，求m的值．

Answer 1

m＝12和m＝24

试题分析：方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数的m的值，求得后再代入方程检验即可．
∵a=1，b=-2（2m-3），c=4m²-14m+8，
∴△=b²-4ac=4（2m-3）²-4（4m²-14m+8）=4（2m+1）．
∵方程有两个整数根，
∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，
所以2m+1也是一个完全平方数．
∵4＜m＜40，
∴9＜2m+1＜81，
∴2m+1=16，25，36，49或64，
∵m为整数，
∴m=12或24．
代入已知方程，
得x=16，26或x=38，52．
综上所述m为12，或24．
点评：一元二次方程有整数根，必须满足根的判别式△=b²-4ac非负或为完全平方数，可根据这两个条件来限定待定系数的取值范围，从而找出解题的思路．