Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是半圆上的一点，过D作DH⊥AB，垂足为H，延长DH交AC于点E，交⊙O于点F，P为DF延长线上的一点．
（1）探索△PCE满足什么条件时，PC是⊙O的切线，并加以证明．
（2）若F是劣弧的中点，求证：AD²=DF•EF．

Answer 1

（1）解：当PC=PE（或∠PCE=∠PEC）时，PC与⊙O相切．
证明：连接AF，OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC=PE，
∴∠ECP=∠PEC．
∵∠PEC=∠AFE+∠FAE，∠AFE+∠FAE+∠CAO=90°，
∴∠PEC+∠CAO=90°．
∵∠OCP=∠OCA+∠ECP，
∴∠OCP=90°．
当PC=PE（或∠PCE=∠PEC）时，PC与⊙O相切．

（2）证明：∵F是劣弧的中点，
∴弧FC=弧AF，∠ADF=∠FAC．
又∵∠AFE=∠AFD，
∴△AEF∽△DAF．
∴EF：AD=AF：DF．
∴AD•AF=EF•DF．
∵AB⊥DF，
∴AD=AF．
∴AD²=EF•DF．
分析：（1）要使PC是圆的切线，则应有∠ECP=∠PEC，即PC=PE；
（2）连接AF，由于AD=AF，则证△AEF∽△DAF即有AD²=EF•DF；
点评：本题利用了等边对等角，垂径定理，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质求解．