如图1.以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD.过点A作∠MAN.使∠MAN=∠BAC=α.将∠MAN的边AM与AC叠合.绕点A按逆时针方向旋转.与射线CB.BD分别交于点E.F.设旋转角度为β．(1)如图1.当0°＜β＜α时.线段BE与DF相等吗?请说明理由．(2)当α＜β＜2α时.线段CE.FD与线段BD具有怎样的数量关系?请在图2中画� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过点A作∠MAN，使∠MAN=∠BAC=α（0°＜α＜60°），将∠MAN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB，BD分别交于点E，F，设旋转角度为β．
（1）如图1，当0°＜β＜α时，线段BE与DF相等吗？请说明理由．
（2）当α＜β＜2α时，线段CE，FD与线段BD具有怎样的数量关系？请在图2中画出图形并说明理由．
（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，请用含α的代数式直接表示出∠CEA的度数．

分析（1）结论：BE=DF．只要证明△AEB≌△AFD即可．
（2）结论：CE-FD=BD，由△AEB≌△AFD，得BE=DF，由此即可证明．
（3）结论：90°-α．只要证明∠AOB=∠AOF=90°即可解决问题．

解答解：（1）结论：BE=DF．
理由：如图1中，

∵等腰△ABC和△ABD全等，
∴AB=AC=AD，∠C=∠ABC=∠ABD=∠D，∠BAC=∠BAD，
∵∠MAN=∠BAC=α，
∴∠MAN=∠BAD=α，
∴∠EAB=∠FAD，
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠D}\\{AB=AD}\\{∠EAB=∠FAD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD，
∴BE=DF．

（2）结论：CE-FD=BD．
理由：如图2中所示，∵∠MAN=∠BAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠ABC=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD，
∴BE=DF，
∵BC=BD，
∴CE-FD=CE-BE=BC=BD．

（3）结论：90°-α．
理由：如图3中，AE交BD于点O．

∵AD⊥EF，
∴∠DAF+∠AFE=90°，
∵∠DAF=∠BAE，∠ABD=∠AFE，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=∠AOF=90°，
∴∠AFD=90°-∠EAF=90°-α，
∵∠CEA=∠AFD，
∴∠CEA=90°-α．

点评本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．

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