Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD＝AE．

（2）若AB＝10，sin∠DAC＝求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）AD＝AE，见解析；（2）AD＝8，见解析.

【解析】

（1）由切线的性质和圆周角定理得出∠BAE=90°，∠ADB=∠ADC=90°，由平行线的性质得出∠E=∠ADB，证出∠BCA=∠ACE，证明△ADC≌△AEC，即可得出结论；
（2）连接BF，由圆周角定理得出∠CBF=∠DAC，∠AFB=90°，得出∠CFB=90°，由三角函数求出，由等腰三角形的性质得出AC=2CF=4，在Rt△ACD中，由三角函数求出，再由勾股定理即可得出结果．

解：（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径

∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∵CE∥AB，

∴∠BAE+∠E＝180°，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADB，

∵在△ABC中，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠BCA＝∠ACE，

在△ADC和△AEC中，，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD＝AE；

（2）连接BF，如图所示：

∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，

∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，

∵AB＝BC＝10，

∴CF＝2，

∵BF⊥AC，

∴AC＝2CF＝4，

在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，

∴CD＝×4＝4，

∴AD＝＝＝8．