Question

如图，已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）y=mx²+nx+p的解析式为

 

，试猜想出与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式为

 

．
（2）A，B的中点是点C，则sin∠CMB=

 

．
（3）如果过点M的一条直线与y=mx²+nx+p图象相交于另一点N（a，b），a，b满足a²-a+m=0，b²-b+m=0，则点N的坐标为

 

．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，即y=x²+6x+5上的点关于y轴的对称点在函数y=mx²+nx+p上，可以在y=x²+6x+5上取几点，求出它们关于y轴的对称点，利用待定系数就可以求出函数的解析式．
（2）根据抛物线的解析式，可以求出A，B点的坐标，则C的坐标也可以求出．过点C作CD⊥BM，易证，△BCD是等腰直角三角形，在直角△BCD中根据三角函数可以求出CD，在直角△NOC中，根据勾股定理就可以求出MC的长，则sin∠CMB就可以求出．
（3）设过点M（0，5）的直线为y=kx+b，则b=5．则直线的解析式是y=kx+5，与抛物线的解析式组成方程组，解方程组就可以得到N，M两点的坐标，可以得到a，b的关系，从而求出值．

解答：解：（1）y=x²+6x+5的顶点为（-3，-4），
即y=mx²+nx+p的顶点的为（3，-4），
设y=mx²+nx+p=a（x-3）²-4，
y=x²+6x+5与y轴的交点M（0，5），
即y=mx²+nx+p与y轴的交点M（0，5）．
即a=1，
所求二次函数为y=x²-6x+5．
猜想：
与一般形式抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的二次函数解析式是y=ax²-bx+c．


（2）过点C作CD⊥BM．
抛物线y=x²-6x+5与x轴的交点A（1，0），B（5，0），与y轴交点M（0，5），AB中点C（3，0）．
故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，CD=

2

2

BC=

2

．
在Rt△MOC中，MC=

34

．
则sin∠CMB=

CD

MC

=

17

17

．

（3）设过点M（0，5）的直线为y=kx+b，则b=5．

y=kx+5 y=x2-6x+5

，
解得

x1=0 y1=5

，

x2=k+6 y2=k2+6k+5

，
则a=k+6，b=k²+6k+5，
由已知a，b是方程x²-x+m=0的解，故a+b=1．
即（k+6）+（k²+6k+5）=1，
化简k²+7k+10=0，则k₁=-2，k₂=-5．
点N的坐标是（4，-3）或（1，0）．

点评：本题主要考查了关于y轴对称的函数解析式的关系，已知一个函数的解析式，利用-x代替式子中的x，就可以得到函数关于y轴
对称的函数的解析式．