Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点B（0，6）．
（1）求△ABO的面积；
（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角三角形BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A与B的坐标，求出OA与OB的长，利用三角形面积公式求出三角形AOB面积即可；
（2）作EG⊥x轴于G，利用垂直的定义可得∠EGD=∠DOB=90°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用等腰直角三角形的性质得到一对边相等，利用AAS得到三角形EDG与三角形BOD全等，利用全等三角形的对应边相等得到EG=OD，DG=OB=6，设D（-d，0），d＞0，表示出G与E坐标，设直线EA解析式为y=kx+b，把A与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线EA解析式，即可求出F的坐标．

解答 解：（1）∵直线AB与x轴交于A（-6，0），与y轴交于B（0，6），即OA=OB=6，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
（2）作EG⊥x轴于G，可得∠EGD=∠DOB=90°，
∵△EDB为等腰直角三角形，
∴ED=BD，∠BDE=90°，
∵∠DEG+∠EDG=90°，∠EDG+∠BDO=90°，
∴∠DEG=∠BDO，
在△DEF和△BDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠DOB=90°}\\{∠DEG=∠BDO}\\{ED=BD}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△BDO（AAS），
∴EG=OD，DG=OB=6，
设D（-d，0），d＞6，则G（-d-6，0），E（-d-6，d），
设直线EA的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{k（-d-6）+b=d}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-6，
∴直线EA的解析式为y=-x-6，
令x=0，得到y=-6，即F（0，-6）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．