Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AC=3，AB=4，
（1）求sin∠DAC的值；
（2）若以2.5为半径作⊙A，判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）中，因为AD⊥BC，所以∠ADC=90°，直接根据锐角三角函数的定义sin∠DAC=

DC

AC

求出．
（2）中，欲求直线BC与圆的位置关系，关键是求出点A到BC的距离d，再与半径r2.5进行比较．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

解答：解：（1）由勾股定理BC=

AB2+AC2

=5，
由面积公式得AB•AC=AD•BC，
∴AD=

12

5

，
∴CD=

AC2-AD2

=3.2，
∴sin∠DAC=

DC

AC

=0.8．
（2）∵AD=

12

5

＜r=2.5，
所以圆与直线的位置关系是相交．

点评：本题考查的是锐角三角函数，勾股定理和直线与圆的位置关系，求锐角三角函数可以根据直角三角形的三边关系来求，解决直线与圆的位置关系可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．