Question

已知a、b、c、d都是正整数，并且a⁵=b⁴，c³=d²，c-a=9，求a-b的值．

Answer 1

分析：根据已知a⁵=b⁴，c³=d²，得出a，b，c，d之间的关系，进而求出（

d

c

+

b2

a2

）（

d

c

-

b2

a2

）=9，进一步得出

d

c

=5，

b2

a2

=4，从而可以求出a-b的值．

解答：解：由a⁵=b⁴得：a=

b4

a4

=(

b2

a2

) 2，
由c³=d²得：c=

d2

c2

=（

d

c

）²；
代入c-a=9得
（

d

c

）²-(

b2

a2

) 2=9，
（

d

c

+

b2

a2

）（

d

c

-

b2

a2

）=9，
很明显，前一个括号的值大于后一个括号的，所以必有：

d

c

+

b2

a2

=9，

d

c

-

b2

a2

=1，
上面两式相加，整理得：

d

c

=5，即d=5c；
上面两式相减，整理得：

b2

a2

=4，即b²=4a²，
解得：b=2a．
因为d=5c，b=2a，a⁵=b⁴，c³=d²，
所以
c³=d²=（5c）²=25c²，
解得c=25，从而d=5c=125；
由c-a=9，
得a=c-9=25-9=16，从而b=32，a=16．
综上，a-b=16-32=-16．

点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，由已知整理出a、b、c、d的关系，得出

d

c

+

b2

a2

=9，

d

c

-

b2

a2

=1，从而得出

d

c

=5，

b2

a2

=4，是解决问题的关键．