Question

如图，正方形ABCD中，N是DC的中点M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM+tan∠DMN（　　）

• A、

  11

  12

• B、

  13

  12

• C、

  5

  4

• D、

  17

  12

Answer 1

分析：延长MN交BC延长线于点E，根据已知条件求出M在AD上的位置，然后代入三角函数求解．

解答：解：延长MN交BC延长线于点E．
设正方形的边长为2a，MD=x，
∵∠MND=∠CNE，ND=NC，∠D=∠NCE，
∴△MND≌△ENC，
∴MN=NE=

a2+x2

，ME=2MN=2

a2+x2

，
∵∠NMB=∠MBC，BE=2a+x，
∴ME=BE即：2

a2+x2

=2a+x，
化简得：x=

4

3

a．
在Rt△ABM中，AM=

2

3

a，故tan∠ABM=

AM

AB

=

2 3 a

2a

=

1

3

；
在Rt△MDN中，tan∠DMN=

ND

MD

=

a

4 3 a

=

3

4

；
故：tan∠ABM+tan∠DMN=

13

12

．
故选B．

点评：此题综合应用了解直角三角形、直角三角形性质等知识，也要求学生有比较高的逻辑推理能力和运算能力．