Question

（2011•金东区模拟）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

m

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（

1

2

，-6）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）先将点B（

1

2

，-6）代入y=

m

x

，运用待定系数法求出反比例函数的解析式，再作AE⊥x轴于E，根据正切的定义有tan∠AOC=

1

3

，可设AE=x，则OE=3x，则-3x•x=-3，求出x=1，得到A点坐标为（-3，1），然后把A（-3，1），B（

1

2

，-6）代入y=ax+b，运用待定系数法即可确定一次函数的解析式；
（2）先求出直线y=-2x-5与y轴的交点D的坐标，再利用S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA进行计算即可．

解答：解：（1）∵点B（

1

2

，-6）在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴m=

1

2

×（-6）=-3，
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

．
过A点作AE⊥x轴于E，如图，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，
设AE=x，则OE=3x，A（-3x，x），
∴-3x•x=-3，
∴x=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A点坐标为（-3，1），
把A（-3，1），B（

1

2

，-6）代入y=ax+b，
得

-3a+b=1 1 2 a+b=-6

，
解得

a=-2 b=-5

，
∴一次函数的解析式为y=-2x-5；

（2）∵对于y=-2x-5，令x=0，则y=--5，
∴D点坐标为（0，-5），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=

1

2

×5×

1

2

+

1

2

×5×3=

35

4

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求函数的解析式；运用三角函数的定义计算线段的长度．