Question

已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）若点E与点A重合，求x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）证明△CMP∽△DEP，得出y与x的关系式；（2）根据y的值，解方程求出x在值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，AB=DC=4，
∴∠CMP+∠CPM=90°，
∵PE⊥PM，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
∴∠CMP=∠DPE，
∴△CMP∽△DEP，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
又CP=x，DE=y，
∴DP=4-x，
又M为BC的中点，BC=2，
∴CM=1，
∴

x

y

=

1

4-x

，
∴y=-x²+4x；
（2）当E与A重合时，DE=AD=BC=2，
∴y=2，即x²-4x+2=0，
解得：x=2±

2

，
经检验适合题意，
∴x的值为2+

2

或2-

2

．

点评：本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质以及二次函数的运用，证明三角形相似是解决问题的关键．