Question

14．如图，已知?ABCD，点E在边BC延长线上一点，AE与CD交于点于F，FG∥BC，FG交DE于G．
（1）若?ABCD是菱形，求证：FG=FC；
（2）若FG=FC，求证：?ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，求出FG∥AD，根据相似三角形的判定得出△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，根据相似三角形的性质得出$\frac{CF}{AB}$=$\frac{FG}{AD}$即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，求出FG∥AD，根据相似三角形的判定得出△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，根据相似三角形的性质得出$\frac{CF}{AB}$=$\frac{FG}{AD}$即可．

解答 证明：（1）∵?ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FG∥BC，
∴FG∥AD，
∴△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，
∴$\frac{FG}{AD}$=$\frac{EF}{AE}$，$\frac{CF}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{FG}{AD}$，
∴FG=FC；

（2）∵?ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FG∥BC，
∴FG∥AD，
∴△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，
∴$\frac{FG}{AD}$=$\frac{EF}{AE}$，$\frac{CF}{AB}$=$\frac{EF}{AE}$，
∴$\frac{CF}{AB}$=$\frac{FG}{AD}$，
∵FC=FG，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，能求出$\frac{CF}{AB}$=$\frac{FG}{AD}$是解此题的关键，他题目比较好，难度适中．