Question

27、如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AM⊥MN于M，CN⊥MN于N，BR⊥MN于R．
（1）求证：△ADM≌△DCN：
（2）求证：MN=AM+CN；
（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：此题分三问进行，三问都与三角形全等直接相关，所以要紧扣三角形全等的判定方法进行思考．
（1）要证△ADM≌△DCN，由于它们都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD是正方形有AD=DC，再找一个条件即可，而由图形很容易分析得出∠ADM=∠DCN；
（2）的关键是合理添加辅助线，通过等量代换等到结论；
（3）首先结合前面的结论再结合图形合理猜想，然后再结合前面的结论认真推理，细致证明即可．

解答：（1）证明：
∵AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N（已知），
∴∠AMD=∠DNC=90°（垂直的定义）．
∴∠MAD+∠MDA=180°-90°=90°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是正方形（已知），
∴∠ADC=90°，AD=DC．
∴∠MDA+∠NDC=180°-90°=90°（平角的定义）．
∴∠MAD+∠MDA=∠NDC+∠NCD．
∴∠MAD=∠NDC．
在△AMB和△DNC中，
∵∠AMD=∠DNC，∠MAD=∠NDC，AD=DC，
∴△AMD≌△DNC（AAS）．

（2）证明：由（1）△AMD≌△DNC，
∴AM=DN，MD=NC．（全等三角形对应边相等）
∴MD+DN=AM+CN．
即MN=AM+CN．

（3）猜想BR=MN．
证明如下：
作AE⊥BR于E．
∵BR⊥MN，CN⊥MN（已知）
∴BR∥CN（垂直于同一直线的两条直线平行）
∴∠1=∠2（两直线平行同位角相等）
又四边形ABCD是正方形
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABE=∠DCN=90°-∠1，
在△ABE和△DCN中，AB=DC，∠ABE=∠DCN，∠AEB=∠DNC=90°
∴△ABE≌△DCN（AAS）
由（1）△ADM≌△DCN
∴△ABE≌△ADM
∴AM=AE（全等三角形对应边相等）．
又AE∥MR，AM∥ER，
∴BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN．

点评：此题三问紧密相连，第一问正确解出后，后两顺理成章求出来了．