Question

（2013•历城区三模）（1）如图1所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．
（2）如图2所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠C=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，最后根据三角形的周长定义列式计算即可得解．

解答：解：AE=CF．
理由如下：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF；

（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴BC=2AB=2×2=4，
根据勾股定理，AC=

BC2-AB2

=

42-22

=2

3

cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+4+2

3

=（6+2

3

）cm．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，求边相等，证明两边所在的三角形全等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．