Question

【题目】连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．

（1）四、五、六、n边形对角线条数分别为 、 、 、 ．

（2）多边形可以有12条对角线吗？如果可以，求多边形的边数；如果不可以，请说明理由．

（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．

（4）已知k-1边形的对角线条数是,求k+1边形的对角线条数（k>4）．

Answer 1

【答案】（1）2；5；9；；（2）没有，见解析；（3）54；（4）.

【解析】

（1）根据多边形对角线条数公式即可求出结论；
（2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再根据多边形对角线条数公式，即可得出结论．

（4）根据n边形对角线的条数公式，把n换成k+1即可．

解：（1）四边形对角线条数为：

五边形对角线条数为：

六边形对角线条数为：

n边形对角线条数为：

故答案为：2；5；9；．

（2）假设有，设多边形的边数为n，则：

∴-3n-24=0，∴n=

∵n，且n为整数

∴没有这样的多边形.

（3）∵一个n边形的内角和为1800°，

∴180°×（n﹣2）=1800°，

解得：n=12，

∴．

答：这个多边形有54条对角线．

（4）∵n边形对角线条数为：

∴k+1边形的对角线条数为：