Question

10．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10
（1）用尺规作出△ABC的内切圆⊙I（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求⊙I的半径．

Answer 1

分析 （1）先过A点作AD⊥BC于D，再作∠ABC的平分线交AD于I，然后以I为圆心，ID为半径作圆即可；
（2）根据等腰三角形的性质得BD=CD=5，则利用勾股定理可计算出AD=12，设⊙I的半径为r，作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，连结CI，如图，根据切线的性质得IE=IF=ID=r，然后利用面积法得到$\frac{1}{2}$•r•13+$\frac{1}{2}$•r•13+$\frac{1}{2}$•r•10=$\frac{1}{2}$•12•10，再解方程即可．

解答 解：（1）如图，⊙I为所作；

（2）由作法得AD⊥BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=5，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
设⊙I的半径为r，
作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，连结CI，如图，
∵⊙I为△ABC的内切圆，
∴IE=IF=ID=r，
∵S_△AIB+S_△BIC+S_△AIC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•r•13+$\frac{1}{2}$•r•13+$\frac{1}{2}$•r•10=$\frac{1}{2}$•12•10，解得r=$\frac{10}{3}$，
即⊙I的半径为$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的内心．