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如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0)(如图1).
(1)当α=60°时,△CBD的形状是______;
(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式;
(3)当α=90°时,(如图2).请探究:经过点D,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,并说明理由.
(1)∵图形旋转后BC=CD,∠BCD=∠α=60°
∴△BCD是等边三角形;

(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,
依题意可得:AB=OC=6,BC=OA=4,
在Rt△BHC中,HC2=BC2+HB2
即x2-(6-x)2=16,
解得x=
13
3

∴H(
13
3
,4).
设y=kx+b,把H(
13
3
,4),C(6,0)代入y=kx+b,
13
3
k+b=4
6k+b=0

解得
k=-
12
5
b=
72
5

∴y=-
12
5
x+
72
5


(3)抛物线顶点为B(6,4),
设y=a(x-6)2+4,
把D(10,0)代入得:a=-
1
4

∴y=-
1
4
(x-6)2+4(或y=-
1
4
x2+3x-5).
依题可得,点M坐标为(8,3),
把x=8代入y=-
1
4
(x-6)2+4,得y=3.
∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M.
练习册系列答案
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(1)求抛物线对应的二次函数解析式;
(2)过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值.

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(1)求抛物线的解析式;
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(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)题中的抛物线上有一个动点P,当点P在抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

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A.h=-
3
16
t2
B.y=-
3
16
t2+t
C.h=-
1
8
t2+t+1
D.h=-
1
3
t2+2t+1

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