Question

19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C-A-B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）求AB的长；
（2）当△BDE是直角三角形时，求t的值；
（3）设△CDE的面积为y（cm²），求y与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理计算；
（2）当△BDE是直角三角形时，∠B不可能为直角，所以分两种情况讨论：i）图1，当∠BED=90°时；ii）图2，当∠EDB=90°时；利用相似求边，再利用同角三角函数值列等式计算求出t的值；
（3）分两种情况用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
（2）如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，AC+AD=2t，
∴BD=6+10-2t=16-2t，
∵∠BED=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{t}{8}=\frac{DE}{6}$，
∴DE=$\frac{3}{4}$t，
∵sinB=$\frac{DE}{BD}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{3t}{4}}{16-2t}=\frac{3}{5}$，
t=$\frac{64}{13}$；
如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，
则BE=t，BD=16-2t，
cosB=$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}$，
∴$\frac{16-2t}{t}=\frac{8}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$；
∴当△BDE是直角三角形时，t的值为$\frac{64}{13}$或$\frac{40}{7}$
（3）当0＜t≤3时，y=$\frac{1}{2}$×2t×（8-t）=8t-t²；
当3＜t＜8时，y=$\frac{1}{2}$（8-t）×$\frac{3}{5}$（16-2t）=$\frac{3}{5}$t²-$\frac{48}{5}$t+$\frac{192}{5}$．

点评 本题是三角形的综合问题，以两个动点为背景，主要考查了平行四边形、菱形、直角三角形的性质，考查了利用平行线分线段成比例定理求边长或表示边长；难度适中，是一个不错的综合题．