Question

13．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=$\sqrt{2}$，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．

Answer 1

分析 （1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；

解答 （1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QEF=∠PED}\\{EQ=EP}\\{∠EQF=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；

（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∵EC=$\sqrt{2}$，
∴AE=CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=$\sqrt{2}$．

   

（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°
综上所述，∠EFC=120°或30°．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．