Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2

3

，直线y=

3

x-2

3

经过点C，交y轴于点G．
（1）点C、D的坐标；
（2）求顶点在直线y=

3

x-2

3

上且经过点C、D的抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y=

3

x-2

3

平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请明理由．

Answer 1

（1）令y=2

3

，2

3

=

3

x-2

3

，解得x=4，则OA=4-3=1，
∴C（4，2

3

），D（1，2

3

）；

（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为

1+4

2

=

5

2

，
令x=

5

2

，则y=

3

×

5

2

-2

3

=

3

2

，
∴顶点坐标为（

5

2

，

3

2

），
∴设抛物线解析式为y=a（x-

5

2

）²+

3

2

，把点D（1，2

3

）代入得，a=

2 3

3

，
∴解析式为y=

2 3

3

（x-

5

2

）²+

3

2

；

（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，

3

m-2

3

）（m＞0）
∴可设解析式为y=

2 3

3

（x-m）²+

3

m-2

3

，
①当FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2

3

），代入解析式得：

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2m-2

3

，
得m=0（舍去），m=

3

-

3

2

，
此时所求的解析式为：y=

2 3

3

（x-

3

+

3

2

）²+3-

7 3

2

；
②当GE=EF时，FG=2

3

m，则F（0，2

3

m-2

3

），
代入解析式得：

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，解得m=0（舍去），m=

3

2

，
此时所求的解析式为：y=

2 3

3

（x-

3

2

）²-

3

2

；
③当FG=FE时，不存在．