Question

【题目】如图1是一款“雷达式”懒人椅．当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB、CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接．金属杆CD的OD部分可以伸缩（即OD的长度可变）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上（如图3所示），此时点E和点A重合．

（1）如图2，已知∠BOD＝6∠ODB，∠OBF＝140°．

①求∠AOC的度数．

②求点A，C之间的距离．

（2）如图3，当懒人椅完全叠合时，求CF与CD的长．

Answer 1

【答案】（1）①120°，②70cm；（2）70cm

【解析】

（1）①先根据外角定理得到∠OBF＝∠BOD+∠ODB，根据已知条件关于∠ODB和∠OBF等量关系6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，代入数值即可求得结果.

②作垂线，由（1）可得∠AOC＝120°，进而求得∠OAG＝90°﹣60°＝30°，根据30°所对直角边是斜边的一半得到OG＝OA＝25，根据勾股定理求出AG、CG，再根据AC＝即可求出结果.

（2）观察图形可得到CF＝OC﹣OB﹣BF，CD＝OC+OA﹣DE，代入数值可得结果.

解：（1）①∵∠OBF＝∠BOD+∠ODB，∠BOD＝6∠ODB，

∴6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，

∴7∠ODB＝140°，

∴∠ODB＝20°，

∴∠BOD＝6×20°＝120°，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠AOC＝120°；

②连接AC，过点A作AG⊥CE于G，如图2所示：

∵∠AOC＝120°，

∴∠AOG＝180°﹣120°＝60°，

∵AG⊥CE，

∴∠OGA＝90°，

∴∠OAG＝90°﹣60°＝30°，

∴OG＝OA＝×50＝25（cm），

由勾股定理得：AG＝＝＝25（cm），

∵CG＝OC+OG＝30+25＝55（cm），

∴AC＝＝ ＝70（cm），

∴点A，C之间的距离为70cm；

（2）CF＝OC﹣OB﹣BF＝30﹣20﹣5＝5（cm），CD＝OC+OA﹣DE＝30+50﹣5＝75（cm）．