Question

如图，已知抛物线的顶点为M（5，6），且经过点C（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴交于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则抛物线上存在点P，使△ABP的面积等于△ABO的面积，请求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）将抛物线向右平移，使抛物线经过点（5，0），请直接答出曲线段CM（抛物线图象的一部分，如图中的粗线所示）在平移过程中所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-5）²+6，将C（-1，0）代入，利用待定系数法可得a=-

1

6

，则所求抛物线的解析式为y=-

1

6

(x-5)2+6=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

；
（2）先根据函数解析式求得OA=

11

6

，结合AB∥x轴，OA⊥AB的性质可知点P到AB的距离为

11

6

，设点P的坐标为(x，

11

3

)或（x，0），①将(x，

11

3

)代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，解得x1=5+

14

，x2=5-

14

②将（x，0）代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，解得x₃=-1，x₄=11，综合可知点P的坐标为(5+

14

，

11

3

)、(5-

14

，

11

3

)、（-1，0）、（11，0）．
（3）曲线段CM在平移过程中所扫过的面积可看作为底为6，高为6的平行四边形的面积，故为36．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-5）²+6（1分）
将C（-1，0）代入，
得0=a（-1-5）²+6，
解得a=-

1

6

（2分）
∴所求抛物线的解析式为y=-

1

6

(x-5)2+6=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

（1分）；

（2）∵当x=0时，y=

11

6

，
∴OA=

11

6

（1分）
∵AB∥x轴，
∴OA⊥AB
∵S_△ABO=S_△ABP
∴点P到AB的距离为

11

6

（2分）
∴设点P的坐标为(x，

11

3

)或（x，0）
将(x，

11

3

)代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，
解得x1=5+

14

，x2=5-

14

（2分）
将（x，0）代入y=-

1

6

x2+

5

3

x+

11

6

，
解得x₃=-1，x₄=11（2分）
∴点P的坐标为(5+

14

，

11

3

)、(5-

14

，

11

3

)、（-1，0）、（11，0）（1分）；

（3）∵曲线段CM在平移过程中所扫过的面积可看作为底为6，高为6的平行四边形的面积，
∴所扫过的面积为36．（2分）

点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和二次函数和方程之间的关系以及利用数形结合的方法求算几何图形的面积等．要熟练掌握才能灵活运用．