Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，在AB的延长线上取一点E，使EF＝ED，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.

（1）求证：GE是⊙O的切线；

（2）若OF：OB＝1：3，⊙O的半径为3，求DE和AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝4，AG＝6．

【解析】

（1）连接，利用等腰三角形的性质以及CO⊥AB得出∠CDO+∠CDE＝90°，进而得出答案；

（2）在Rt△ODE中，设DE＝x，利用勾股定理可求得的长，易判定Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似三角形的性质可求出AG的长．

（1）证明：连接OD，

∵OC＝OD，

∴∠C＝∠ODC，

∵OC⊥AB，

∴∠COF＝90°，

∴∠C+∠CFO＝90°，

∴∠ODC+∠CFO＝90°，

∵EF＝ED，

∴∠EFD＝∠FDE，

∵∠CFO＝∠EFD，

∴∠CDO+∠CDE＝90°，

∴GE为⊙O的切线；

（2）解：∵OF：OB＝1：3，⊙O的半径为3，

∴OF＝1，

在Rt△ODE中，OD＝3，DE＝x，则EF＝ED＝x，OE＝1+x，

∵OD2+DE2＝OE2，

∴32+x2＝（x+1）2，解得x＝4，

∴DE＝4，OE＝5，

∵AG为⊙O的切线，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE＝90°，

而∠OED＝∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴，即，

∴AG＝6．