Question

17．探究：如图1和2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能证得
EF=BE+DF，请写出推理过程；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF；
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）①根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案；
（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．

解答 （1）①解：如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠DAG+∠DAF=45°，
即∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
②解：∠B+∠D=180°，
理由是：
把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ADG=180°，
∴C、D、G在一条直线上，
和①知求法类似，∠EAF=∠GAF=45°，
在△EAF和△GAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=GF，
∵BE=DG，
∴EF=GF=BE+DF；
故答案为：∠B+∠D=180°；

（2）解：∵△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，
把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△FAD和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠FAD=∠EAD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$
∴△FAD≌△EAD，
∴DF=DE，
设DE=x，则DF=x，
∵BC=1，
∴BF=CE=4-1-x=3-x，
∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，
∴∠FBD=90°，
由勾股定理得：DF²=BF²+BD²，
x²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
即DE=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．