Question

（2006•成都二模）正三角形外接圆的面积是它内切圆面积的

4

倍．

Answer 1

分析：△ABC为等边三角形，AD为高，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，根据正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆得到点O为△ABC的外心，根据等边三角形的性质得到AD⊥BC，易得∠OBC=30°，在Rt△OBD中，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OD=

1

2

OB，然后根据圆的面积公式即可得到△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比．

解答：解：△ABC为等边三角形，AD为角平分线，⊙O为△ABC的内切圆，连OB，如图，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为△ABC的内切圆，
∴点O为△ABC的外心，AD⊥BC，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBD中，OD=

1

2

OB，
∴△ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB²：OD²=4：1．
故答案为4．

点评：本题考查了正多边形与圆：正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆．也考查了等边三角形的性质．