Question

10．代数式|x-1|+|x-2|+…+|x-2017|的最小值是1017072，此时x的取值是1009．

Answer 1

分析 此题可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2017|表示：点x到数轴上的2017个点（1、2、3、…、2017）的距离之和，由于原式的绝对值共有2017项，最中间的那一项是|x-1009|，所以只需取x=1009，它们的和就可以获得最小值．

解答 解：由于原式的绝对值共有2017项，最中间的那一项是|x-1009|，所以只需取x=1009，它们的和就可以获得最小值，原式可以展开为：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|
=|1009-1|+|1009-2|+…+|1009-1009|+|1009-1010|+…+|1009-2017|
=1008+…+1+0+1+…+1008
=2×（1+2+3+…+1008）
=1017072．
故答案为：1017072，1009．

点评 此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1009时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2017|能够取到最小值是解题关键．