Question

（2012•塘沽区二模）在直角坐标系中，已知：A（-1，0），B（3，0），C（0，2），以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为

（2，-2）或（-4，2）或（4，2）

．

Answer 1

分析：根据题意分情况进行讨论，按照不同的情况画出图形：
（1）以AB为对角线，作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，即可推出四边形NDMA为矩形，得DN=MO，根据A（-1，0），B（3，0），C（0，2），求出OA=1，OB=3，OC=2，根据平行四边形的性质和平行线的性质求证△COA≌△DMB，即可求出MD的长度，然后根据OB的长度即可求出OM的长度，最后根据D点所在的象限，即可求出D点的坐标；
（2）以AC为对角线时，作DH⊥x轴于点H，首先根据A点、B点、C点的坐标，求出OA=1，OB=3，OC=2，然后根据平行四边形的性质推出CD

∥

.

AB，通过计算即可求出CD的长度，再根据平行线的性质推出DH=OC=2，最后根据D点在第三象限，即可推出D点的坐标；
（3）以BC为对角线，作DE⊥x轴于点E，首先根据A点、B点、C点的坐标，求出OA=1，OB=3，OC=2，然后根据平行四边形的性质推出CD

∥

.

AB，通过计算即可求出CD=4，再根据平行线间的距离相等求出DE=OC=2，最后根据D点在第一象限，即可推出D点的坐标为（4，2）．

解答：解：（1）如图1，以AB为对角线时，
作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，
∵x轴垂直于y轴，
∴四边形NDMA为矩形，
∴DN=MO，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵?ACBD，
∴AC

∥

.

BD，
∴∠DBM=∠CAB，
∵∠COA=∠DMB=90°，
∴在△COA和△DMB中，

AC=BD ∠COA=∠DMB ∠CAO=∠DBM

，
∴△COA≌△DMB（AAS），
∴BM=OA=1，MD=OC=2，
∵OB=3，
∴DN=MO=OB-MB=3-1=2，
∵D点在第四象限内，
∴D点的坐标为（2，-2），

（2）如图2，以AC为对角线时，
作DH⊥x轴于点H，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵?ABCD，
∴CD

∥

.

AB，
∴CD=AB=OA+OB=1+3=4，
∵OC⊥HB，
∴DH=OC=2，
∵D点在第三象限，
∴D点的坐标为（-4，2），

（3）如图3，以BC为对角线，
作DE⊥x轴于点E，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=3，OC=2，
∵?ABDC，
∴CD

∥

.

AB，
∴CD=AB=OA+OB=1+3=4，
∵OC⊥AE，
∴DE=OC=2，
∵D点在第一象限，
∴D点的坐标为（4，2）．
故答案为（2，-2）或（-4，2）或（4，2）．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的画出图形、作辅助线，熟练运用数形结合的思想和相关的性质定理推出全等的三角形、相等的线段．