Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）如图1，请你写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点O，连接AP，BO．猜想并写出BO与AP所满足的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）将△EFP沿直线l继续向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点O，连接AP，BO．此时，BO与AP还具有（2）中的数量关系和位置关系吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，则∠BAP=90°，于是AP⊥AB；
（2）延长BO交AP于H点，可得到△OPC为等腰直角三角形，则有OC=PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCO，则AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形内角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO；
（3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．

解答：解：（1）∵AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP．
∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，
∴∠BAP=90°，
∴AP=AB，AP⊥AB；

（2）延长BO交AP于H点，如图2
∵∠EPF=45°，
∴△OPC为等腰直角三角形，
∴OC=PC，
∵在△ACP和△BCO中

AC=BC ∠ACP=∠BCO CP=CO

，
∴△ACP≌△BCO（SAS），
∴AP=BO，∠CAP=∠CBO，
又∵∠AOH=∠BOC，
∴∠AHO=∠BCO=90°，
∴AP⊥BO，
即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直；

（3）BO与AP所满足AP=BO，AP⊥BO．理由如下：
延长OB交AP于点H，如图3，
∵∠EPF=45°，
∴∠CPO=45°，
∴△CPO为等腰直角三角形，
∴OC=PC，
∵在△APC和△OBC中，

AC=BC ∠ACP=∠BCO CP=CO

，
∴△APC≌△OBC（SAS），
∴AP=BO，∠APC=∠COB，
而∠PBH=∠CBO，
∴∠PHB=∠BCO=90°，
∴BO⊥AP，
即BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．