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已知:点A、B分别是直线m、n上两点,在直线n上找一点C,使BC=AB,连接AC,在线段AC上取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.
(1)当∠ABC=60°时(如图1),求证:AE+AF=BC;
(2)当∠ABC=90°时(如图2),则AE、AF、BC之间的数量关系是______;
(3)当∠ABC=120°时(如图3),设EF与AB交于点M,若AC=4数学公式,AF=1,求EM的长.

解:(1)在AB上截取AG=AF,则△AFG是等边三角形,连接FG、FB(如图1);
∵∠BAF=∠BEF=60°,
∴A、F、B、E四点共圆,
∴∠AEF=∠ABF(即∠GBF);
又∵AF=GF,∠EAF=∠FGB=180°-60°=120°,
在△EAF与△BGF中,

∴△EAF≌△BGF,
∴AE=BG,故AF+AE=AB=BC.

(2)在AB上截取AG=AF,连接FG,则△AFG是等腰直角三角形,连接FB(如图2);
同(1)可证得△EAF∽△BGF,
得:BG:AE=FG:AF=,即BG=AE;
∴BC=AB=AG+BG=AF+AE.

(3)在AB上截取AG=AF,连接FG,则△AFG是等腰三角形,且∠AFG=∠AGF=30°,连接FB(如图3);
同(1)(2)可证得:BC=AF+AE,即AE=
在等腰△AFG中,AF=AG=1,∠FAG=120°,易求得FG=
∵∠EAM=∠FGA=30°,∠AME=∠FMG,AE=FG=
∴△AME≌△GMF,得AM=MG=,ME=MF;
同(1)(2)可知:A、F、B、E四点共圆,由相交弦定理得:
ME•MF=AM•BM,即ME2=AM•BM=×(4-)=,解得ME=

分析:(1)连接BF,在AB上截取AF=AG,连接FG,则△FAG是等边三角形,得AF=FG,∠EAF=∠FGB=120°;由于∠FAB=∠BEF=∠ABC,所以E、A、F、B四点共圆,由圆周角定理得求得∠AEF=∠GBF,即可证得△AEF≌△GBF,由此可得AE=BG,即可证得所求的结论.
(2)思路和辅助线作法同(1),只不过全等换成了相似,相似比由1:1变为了:1,因此结论应该是BC=AE+AF.
(3)辅助线作法同(1),参照(1)(2)的求解过程,可推出BC=AF+AE,进而可根据BC、AF的长得到AE的值;在Rt△AFE中,易求得FG=AE=,那么可证得△AEM≌△GFM,即可得到AM=MG,且ME=FM,因此只需求得FM即可.由(1)(2)的解答过程可知A、F、B、E四点共圆,在这个圆中,利用相交弦定理即可求得ME的值.
点评:此题主要考查了相似三角形及全等三角形的判定和性质、确定圆的条件以及相交弦定理等知识,综合性强难度较大.
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12
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