Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，⊙C经过点A，交AB于点D．
（1）当∠B=20°时，求∠ACD的度数．
（2）当AC=12，AB=20时，求AD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求得∠A，根据等边对等角求得∠A=∠ADC=70°，根据三角形内角和定理即可求得∠ACD的度数．
（2）作CH⊥AD于H，先根据射影定理计算出AH，再利用垂径定理即可得出AD的长．

解答：解：（1）连接CD，
∵∠C=90°，∠B=20°，
∴∠A=70°，
∵AC=CD，
∴∠A=∠ADC=70°，
∴∠ACD=40°；
（2）作CH⊥AD于H，
∵∠C=90°，
∴AC²=AH•AB，
∴AH=

AC2

AB

，
∵AC=12，AB=20，
∴AH=

12×12

20

=

36

5

∴AD=2AH=

72

5

．

点评：本题考查了直角三角形的两锐角互余的性质，也考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．