Question

8．如图，将边长为4的正方形OABC置于平面直角坐标系中，点P在边OA上从O向A运动，连接CP交对角线OB于点Q，连接AQ．
（l）求证：△OCQ≌△OAQ；
（2）当点Q的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）时，求点P的坐标；
（3）若点P在边OA上从点O运动到点A后，再继续在边AB上从A运动到点B，在整个过运动过程中，若△OCQ恰为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）先求出OB，OQ，进而判断出△OQP∽△BQC，即可得出结论．
（3）分为三种情况：①OC=OD时，②CD=OD时，③OC=CD时，根据等腰三角形性质和相似求出即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形OCBA是正方形，
∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，
在△OCD和△OAD中$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{∠COD=∠AOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OAD（SAS），
（3）∵点Q的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴OQ=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
在正方形OABC中，BC∥OA，OC=BC=4，
∴OB=4$\sqrt{2}$，
∴BQ=OB-OQ=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∵BC∥OA，
∴△OQP∽△BQC，
∴$\frac{OQ}{BQ}=\frac{OP}{BC}$，
∴$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\frac{8\sqrt{2}}{3}}=\frac{OP}{4}$，
∴OP=2，
∴P（2，0）；

（3）解：分为三种情况：
①OC=OD时，如图1，
∴OD=4，
∵OB=4$\sqrt{2}$，
∴BD=OB-OD=4$\sqrt{2}$-4，
∵∠BOC=45°，
∴∠OCP=67.5°，
∴点P在AB上，
∵OC∥AB，
∴△ODC∽△BDP，
∴$\frac{OD}{BD}=\frac{OC}{BP}$，
∴$\frac{4}{4\sqrt{2}-4}=\frac{4}{BP}$，
∴BP=4$\sqrt{2}$-4，
∴AP=AB-BP=4-（4$\sqrt{2}$-4）=8-4$\sqrt{2}$，
∴P点的坐标是（4，8-4$\sqrt{2}$）；
②CD=OD时，如图2，
∵∠BOC=45°，
∴点D是OB的中点，
∴点P与点A重合，
∴P点的坐标是（4，0）；
③OC=CD时，
∴∠CDO=∠COD=45°．
∴∠OCD=90°，
∴点P和点B重合，
∴P点的坐标是（4，4）．
即满足条件的点P的坐标为（4，8-4$\sqrt{2}$）或（4，0）或（4，4）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是找出相似三角形，是一道中等难度的中考常考题．