Question

如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠ADB．
（1）求证：△ABE∽△DAB；
（2）若AB=12，AD=16，以B为圆心的圆与AE相切，求⊙B的半径．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质及相似三角形的判定定理解答；
（2）先根据直角三角形的性质求出AF⊥BF，再根据切线的性质及相似三角形的性质即可解答．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°．
又∵∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△DAB．

（2）解：∵∠BAE=∠ADB，∠ADB+∠ABF=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，AF⊥BF，
即以B为圆心的圆与AE相切时，圆B的半径为BF，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD=20，
∵∠BAF=∠ADB，∠BAD=∠AFB=90°，
∴△ABF∽△DBA，
∴BF：AB=AB：AD，
∴BF=

AB•AB

BD

=

36

5

，
即以B为圆心的圆与AE相切时，圆B的半径为

36

5

．

点评：本题利用了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，切线的概念求解．